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Posted by maths-training on 2017年4月25日 in 学习内容 |

〖几何中圆的定义〗

几何说:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心,定长称为半径。
轨迹说:平面上一动点以一定点为中心,一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周,简称圆。
集合说:到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。
〖圆的相关量〗
圆周率:圆周长度与圆的直径长度的比叫做圆周率,值是3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679…,通常用π表示,计算中常取3.14为它的近似值(但奥数常取3或3.1416)。
圆弧和弦:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。
圆心角和圆周角:顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上,且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。
内心和外心:过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆,其圆心称为内心。
扇形:在圆上,由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径称为圆锥的母线。
〖圆和圆的相关量字母表示方法〗
圆—⊙ 半径—r 弧—⌒ 直径—d
扇形弧长/圆锥母线—l 周长—C 面积—S
〖圆和其他图形的位置关系〗
圆和点的位置关系:以点P与圆O的为例(设P是一点,则PO是点到圆心的距离),P在⊙O外,PO>r;P在⊙O上,PO=r;P在⊙O内,PO<r。
直线与圆有3种位置关系:无公共点为相离;有两个公共点为相交,这条直线叫做圆的割线;圆与直线有唯一公共点为相切,这条直线叫做圆的切线,这个唯一的公共点叫做切点。以直线AB与圆O为例(设OP⊥AB于P,则PO是AB到圆心的距离):AB与⊙O相离,PO>r;AB与⊙O相切,PO=r;AB与⊙O相交,PO<r。
两圆之间有5种位置关系:无公共点的,一圆在另一圆之外叫外离,在之内叫内含;有唯一公共点的,一圆在另一圆之外叫外切,在之内叫内切;有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。两圆的半径分别为R和r,且R≥r,圆心距为P:外离P>R+r;外切P=R+r;相交R-r<P<R+r;内切P=R-r;内含P<R-r。

2017年B07数学培训队第18次例常活动报告

Posted by maths-training on 2017年4月16日 in 例常活动报告 with Comments closed |

日期: 2017年4月15 日(星期六) 记录者:蔡斯乐
时间: 7:50a.m.~1:00p.m.
地点: D404(高一), D405(初三), D406(初二), D407(初一)

出席人数:60/62
缺席人数: 2
缺席者 :黄贯慷,萧玮贤
活动流程:
7:50am – 8:00am 秘书点名
8:00am – 10:30am老师进行授课:
初一生:讨论 AMC 2015习题
初二生:做逻辑推理的题目
初三生:做AMC 2013 习题
高一生:数列
11:10am – 12:55pm 老师进行授课:
初一生:下棋,玩魔术方块
初二生:讨论AMC 2013
初三生:讨论华罗庚数学比赛 2007年
高一生:
12:55pm – 1:00pm 秘书点名

活动总结:今天的联课,有一部分的会员及顾问老师在下半段时去了学术颁奖典礼,。初一的学生在上半段时进行了AMC的讨论,下半段则进行了一些益智游戏。 初二的同学在上半段时做了一些逻辑推理的题目,下半段则讨论了AMC 2013 的习题。初三的学生今天在上半段进行了AMC 2013 的讨论,下半段则讨论了华罗庚杯数学比赛 200年的习题。高一的学生则在上半段时学习了数列,下半段则出校比赛。今天大家的表现都很好,我们希望数培能在今年的AMC 数学比赛表夺取好成绩 。

2017年B07数学培训队第16次例常活动报告

Posted by maths-training on 2017年4月6日 in 例常活动报告 with Comments closed |

日期:2017年4月5日(星期三)                                                   记录者:谢镇东

时间:2.50p.m. ~ 4.10p.m.
地点:D407课室(初一),D406课室(初二),D405课室(初三),D404课室(高一)

出席人数:59/62
缺席人数:3
缺席者:朱键霖、赖志勇、萧凯轩
活动流程:

2.50p.m.-3.00p.m.   秘书点名

3.00p.m.-4.05p.m. 顾问老师授课

初一:讨论2014和2016年AMC历届赛题(附录一)

初二:讨论2017年陈景润杯中阶组数学比赛(附录二)

初三:讨论2010年华罗庚历届赛题(附录三)
高一:数列与级数(附录四)

4.05p.m.-4.10p.m. 秘书点名

活动总结:

今天,会员们都如同往常般专心上课并对有疑惑的地方积极发问。会员们也都安静地聆听老师的讲解,以对未来的比赛做好准备。

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等差数列

Posted by maths-training on 2017年4月5日 in 学习内容 |

等差数列是数列的一种。在等差数列中,任何相邻两项的差相等。该差值称为公差。例如数列3, 5, 7, 9, 11, 13, \cdots 就是一个等差数列。 在这个数列中,从第二项起,每项与其前一项之差都等于2,即公差为2。

通项公式

如果一个等差数列的首项标为\ a_1,公差标为\ d,那么该等差数列第\ n项的表达式为:

\ a_n=a_1+(n-1)d .

等差数列的任意两项之间存在关系:

\ a_n=a_m+(n-m)d

等差中项

给定任一公差为\ d的等差数列a_i=a_1+(i-1)d\qquad, i>1。从第二项\ a_2开始,前一项加后一项的和的値为该项的两倍。 例:\ a_1+ a_3=2a_2

证明:

a_{n-1}+a_{n+1} \neq 2a_n

a_1+(n-2)d+a_1+(n)d\neq2[a_1+(n-1)d]
2a_1+2nd-2d\neq2a_1+2nd-2d(矛盾)
\ a_{n-1}+a_{n+1}=2a_n

证毕

等差数列的和

等差数列的和称为等差级数。

公式

一个公差为d的等差数列a_1,a_2,\dots,a_nn项的级数为:

S_n = a_1+a_2+\dots+a_n=\sum_{i=0}^{n-1} (a_1+id)=\frac{n( a_1 + a_n)}{2} =\frac{n[ 2a_1 + (n-1)d ]}{2}.

等差级数在中文教科书中常表达为:

一个等差数列的和等于其首项与末项的和乘以项数除以2。

通常认为数学家高斯在很小的时候就发现这个公式。在他三年级的时候,他的老师让学生们做从1加到100的习题。高斯很快发现数列的规律,用上面的公式得出了5050的答案。

证明

将一个等差级数写作以下两种形式:

 S_n=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+\dots\dots+(a_1+(n-2)d)+(a_1+(n-1)d)
 S_n=(a_n-(n-1)d)+(a_n-(n-2)d)+\dots\dots+(a_n-2d)+(a_n-d)+a_n

将两公式相加来消掉公差d:

\ 2S_n=n(a_1+a_n)

整理公式,并且注意 \ a_n = a_1 + (n-1)d,我们有:

 S_n=\frac{n( a_1 + a_n)}{2}=\frac{n[ 2a_1 + (n-1)d]}{2}.

证毕

等差数列的积

等差数列的积较其和的公式复杂。给定一首项为\ a_1,公差为\ d 且其首项为正整数 \ (a_1\in\mathbb{Z}^+) 的等差数列,其前\ n项的积写作:

a_1a_2\cdots a_n = d^n {\left(\frac{a_1}{d}\right)}^{\overline{n}}

其中 x^{\overline{n}}\ x\ n次上升阶乘幂。 注意,该公式对于首项不是正数的等差数列并不适用。等差数列的积的公式是基于阶乘定义的一个推广。

2017年会员名单

Posted by maths-training on 2017年4月3日 in 会员名单, 名单 with Comments closed |
  1. 张优仁 17033 J1A
  2. 钟浩阳 17034 J1A
  3. 梁哲铭 17042 J1A
  4. 谭睿腾 17053 J1A
  5. 朱振铭 17088 J1B
  6. 吴启正 17100 J1B
  7. 陈立航 17107 J1B
  8. 黄诗喻 17132 J1C
  9. 林敬凯 17143 J1C
  10. 李延真 17157 J1C
  11. 吕家乐 17160 J1C
  12. 覃榜安 17164 J1C
  13. 魏华志 17166 J1C
  14. 曽绣晴 17172 J1D
  15. 廖世康 17209 J1D
  16. 徐梓进 17199 J1D
  17. 赵乐恩 16010 J2A
  18. 陈俊恺 16036 J2A
  19. 陈正栋 16038 J2A
  20. 徐耀锋 16039 J2A
  21. 许敬仁 16049 J2A
  22. 萧玮贤 16051 J2A
  23. 蔡斯乐 16202 J2D
  24. 林煌捷 16212 J2D
  25. 陈泰诚 16220 J2D
  26. 朱毅恳 17       J2D
  27. 黄国滨 16272 J2E
  28. 陈锦顺 16276 J2E
  29. 赖志勇 16325 J2F
  30. 萧凯轩 16329 J2F
  31. 沈宏叡 16330 J2F
  32. 张俊南 16429 J2H
  33. 刘键洋 16439 J2H
  34. 李嘉芊 15009 J3A
  35. 陈天衡 15050 J3A
  36. 陈蕙盈 15079 J3B
  37. 陈彦琳 15612 J3B
  38. 林博征 15099 J3B
  39. 龚征驿 15152 J3C
  40. 廖晋德 15153 J3C
  41. 李传觉 15154 J3C
  42. 陈泽禧 15159 J3C
  43. 杨权炜 15167 J3C
  44. 曾子航 15200 J3D
  45. 朱键霖 15202 J3D
  46. 曾冠择 15257 J3E
  47. 赖玄晔 15263 J3E
  48. 王子谦 15271 J3E
  49. 苏运盈 15353 J3G
  50. 李安甫 14093 S1S1
  51. 张优元 14267 S1S1
  52. 翁玮林 14156 S1S1
  53. 李惟轩 14159 S1S1
  54. 林明辉 14543 S1S1
  55. 陈虹心 14061 S1S2
  56. 周宏恩 14062 S1S2
  57. 颜筱乐 14290 S1S2
  58. 郑芷芸 14255 S1S2
  59. 谢镇东 14264 S1S2
  60. 胡腾坤 14038 S1S2
  61. 黄贯慷 14040 S1S2
  62. 李冬恒 14272 S1S2

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等比数列

Posted by maths-training on 2017年3月12日 in 学习内容 |

等比数列

等比数列:是一种特殊数列。它的特点是:从第2项起,每一项与前一项的比都是一个常数。

例如数列2,4,8,16,32,\cdots,2^{197},2^{198},2^{199},\cdots

这就是一个等比数列,因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等,都等于2,21982197的比也等于2。我们把像2这样的后一项与前一项的比称之为公比,符号为q

公式

 

公比公式

根据等比数列的定义可得:

q=\frac {a_n}{a_{n-1}} \left(n\ge2\right)

 

通项公式

我们可以任意定义一个等比数列\left\{a_n\right\}

这个等比数列从第一项起分别是a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n,\cdots,公比为q,则有:

a2 = a1q
a3 = a2q = a1q2
a4 = a3q = a1q3
\cdots
以此类推可得,等比数列\left\{a_n\right\}的通项公式为:
an = an − 1q = a1qn − 1

 

求和公式

对于上面我们所定义的等比数列,即数列a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n,\cdots。我们将所有项进行累加。

于是把a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n+\cdots称为等比数列的和。记为:

\sum_{i=1}^{n} a_i

如果该等比数列的公比为q,则有:

S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n

=a_1+a_1q+a_1q^2+\cdots+a_1q^{n-1}(利用等比数列通项公式)*
先将两边同乘以公比q,有:

qS_n=a_1q+a_1q^2+\cdots+a_1q^n
该式减去*式,有:

(q − 1)Sn = a1qn − a1
然后进行一定的讨论

q\ne1时,S_n=\frac {a_1(1-q^n)}{1-q}
而当q = 1时,由★式无法解得通项公式。
但我们可以发现,此时:

S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n

=a_1+a_1q+a_1q^2+\cdots+a_1q^{n-1}
=a_1+a_1+a_1+\cdots+a_1
na1
  • 综上所述,等比数列\left\{a_n\right\}的求和公式为:
S_n=\begin{cases} \frac {a_1-a_1q^n}{1-q}, & (q\ne1) \\ na_1, & (q=1) \end{cases}
  • 经过推导,可以得到另一个求和公式:当q≠1时

{{S}_{n}}=\frac{{{a}_{1}}(1 - {{q}^{n}})}{1 - q}=\frac{{{a}_{1}} - {{a}_{1}}{{q}^{n}}}{1 - q}

 

q<1,\ge0时,等比数列无限项之和

由于当q<1,\ge0n的值不断增加时,qn的值便会不断减少而且趋于0,因此无限项之和:

S_{\infty}=\frac {a_1-a_1q^{\infty}}{1-q}=\frac {a_1-0}{1-q}=\frac {a_1}{1-q}

 

性质

如果数列\left\{a_n\right\}是等比数列,那么有以下几个性质:

  • a_n=a_mq^{n-m} (m,n\in \mathbb{N^*},n>m)
证明:当m,n\in \mathbb{N^*},n>m时,a_mq^{n-m}=a_1q^{m-1}\times q^{n-m}=a_1q^{n-1}=a_n
  • 对于m,n,s,t\in \mathbb{N^*},若\!m+n=s+t,则a_m\cdot a_n=a_s\cdot a_t
证明a_m\cdot a_n=a_1q^{m-1}\cdot a_1q^{n-1}=a_1\cdot a_1\cdot q^{n+m-2}

\!m+n=s+t
a_m\cdot a_n=a_1\cdot a_1\cdot q^{s+t-2}=a_1q^{s-1}\cdot a_1q^{t-1}=a_s\cdot a_t
  • 等比中项:在等比数列中,从第二项起,每一项都是与它等距离的前后两项的等比中项。即等比数列\left\{a_n\right\}中有三项\!a_i\!a_j\!a_k,其中j-i=k-j\ge1,则有a_j^2=a_ia_k
  • 在原等比数列中,每隔k(k\in \mathbb{N^*})取出一项,按原来顺序排列,所得的新数列仍为等比数列。
  • a_1\cdot a_2,a_3\cdot a_4,a_5\cdot a_6 \cdots也成等比数列。

2017年B07数学培训队第14次例常活动报告

Posted by maths-training on 2017年3月12日 in 例常活动报告 with Comments closed |

日期: 2017年3月11 日(星期六) 记录者:蔡斯乐
时间: 7:50a.m.~1:00p.m.
地点: D404(高一), D405(初三), D406(初二), D407(初一)

出席人数:59 /61
缺席人数: 2
缺席者 :吴启正,黄诗喻
活动流程:
7:50am – 8:00am 秘书点名
8:00am – 10:30am老师进行授课:
初一生: KMC 2015,KMC 2016(1-15)
初二生:数独,益智题
初三生:变数法
高一生:三角函数
11:10am – 12:55pm 老师进行授课:
初一生: 到电脑室做网上数学题
初二生:到电脑室做网上数学题
初三生:变数法
高一生:三角函数
12:55pm – 1:00pm 秘书点名

活动总结:今天的联课,初一的学生在上半段时进行了KMC数学比赛的讨论,下半段则与初二的同学到电脑室做网上练习。初二的学生在上半段的时候进行了益智游戏。初三的学生则学习了新的知识-变数法,。高一的学生则继续学习星期三的三角函数。今天大家的表现都很好,我们希望数培能在今年的比赛表现得比以往更好。

2017年B07数学培训队第13次例常活动报告

Posted by maths-training on 2017年3月9日 in 例常活动报告 with Comments closed |

日期: 2017年3月8日(星期三) 记录者:蔡斯乐
时间: 2:50p.m~4:10p.m.
地点: D407(初一), D405(初三), D406(初二), D404(高一)

出席人数:61/62
缺席人数: 1
缺席者 :黄贯慷
活动流程:
2:50pm – 3:00pm 秘书点名
3:00pm – 4:05a.m. 老师进行授课:
初一生:讨论2014年KMC 习题,2015 年KMC 习题
初二生:
初三生:讨论2008年华罗庚数学比赛习题
高一生:三角函数
4:05p.m. ~ 4:10p.m. 秘书点名
活动总结:
今天的联课,初一的学生非常认真地上课。初二的学生则生与老师讨论习题。初三的学生与老师一同讨论了华罗庚数学比赛,以便能应付今年的华罗庚数学比赛。高一的学生则学习了三角函数。今天大家的表现都很好,我们希望数培能在今年的比赛表现得比以往更好。

2017年B07数学培训队第11次例常活动报告

Posted by maths-training on 2017年3月4日 in 例常活动报告 with Comments closed |

日期: 2017年3月3日(星期三)                                                                                               记录者:蔡斯乐

时间: 2:50p.m~4:10p.m.

地点:  D407(初一), D405(初三), D406(初二), D404(高一)

 

出席人数:84/84

缺席人数: 0

缺席者  

活动流程:

2:50pm – 3:00pm 秘书点名

3:00pm – 4:05a.m. 老师进行授课:

初一生:讨论2014年KMC 习题(1-18)

初二生:数学游戏-猜密码

初三生:讨论2008年华罗庚数学比赛习题

高一生:进行能力测试

4:05p.m. ~ 4:10p.m. 秘书点名

活动总结:

今天的联课,初一的学生第一次接触KMC习题,所以非常认真地听老师教课。初二的学生则进行了猜密码的数学游戏。初三的学生与老师一同讨论了华罗庚数学比赛,以便能应付今年的华罗庚数学比赛。高一的学生则进行了能力测试来检测他们的水平。今天大家的表现都很好,我们希望数培能在今年的比赛表现得比以往更好。

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阿拉伯数字的起源

Posted by maths-training on 2017年3月2日 in 学习内容 |

阿拉伯数字的起源

阿拉伯数字并不是阿拉伯人发明创造的,而是发源于古印度,后来被阿拉伯人掌握、改进,并传到了西方,西方人便将这些数字称为阿拉伯数字。以后,以讹传讹,世界各地都认同了这个说法。 Read more…

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