二月 19

三角函数

There is beauty in everything MATH too
[请点击标题]

1.几何定义

 

a, b, h分別為角A的對邊、鄰邊和斜邊

在直角三角形中,仅有銳角(大小在0到90度之間的角)三角函數的定義。給定一個銳角 \theta,可以做出一個直角三角形,使得其中的一個內角是 \theta。設這個三角形中,\theta 的對邊、鄰邊和斜邊長度分別是 a, b, h,那麼

\theta 的正弦是對邊與斜邊的比值:\sin{\theta}=\frac{a}{h}

\theta 的餘弦是鄰邊與斜邊的比值:\cos{\theta}=\frac{b}{h}

\theta 的正切是對邊與鄰邊的比值:\tan{\theta}=\frac{a}{b}

\theta 的餘切是鄰邊與對邊的比值:\cot{\theta}=\frac{b}{a}

\theta 的正割是斜邊與鄰邊的比值:\sec{\theta}=\frac{h}{b}

\theta 的餘割是斜邊與對邊的比值:\csc{\theta}=\frac{h}{a}

  • 直角坐標系中的定義

Trig functions on descartes.png

P( xy )是平面直角坐標系xOy中的一個點,θ是橫軸正向\vec{Ox}逆時針旋轉到\vec{OP}方向所形成的角,r = \sqrt {x^2 + y^2 }>0P到原點O的距離,則θ的六個三角函數定義為:

正弦: \sin \theta = \frac{y}{r}, 正切: \tan \theta = \frac{y}{x}, 正割: \sec \theta = \frac{r}{x},
餘弦: \cos \theta = \frac{x}{r}, 餘切: \cot \theta = \frac{x}{y}, 餘割: \csc \theta = \frac{r}{y}.

這樣可以對0到360度的角度定義三角函數。要注意的是以上的定義都只在定義式有意義的時候成立。比如說當x=0 的時候,\frac{y}{x}\frac{r}{x}都沒有意義,這說明對於90度角和270度角,正切和正割沒有定義。同樣地,對於0度角和180度角,餘切和餘割沒有定義。

  • 單位圓定義

三角函數也可以依據直角坐標系xOy中半徑為1,圓心為原點O的單位圓來定義。給定一個角度θ,設A(1, 0)為起始點,如果θ > 0則將OA逆時針轉動,如果θ < 0則順時針移動,直到轉過的角度等於θ為止。設最終點A轉到的位置為P (x, y),那麼:

  • 正弦:sin θ = y
  • 餘弦:cos θ = x
  • 正切:tan θ = y/x
  • 餘切:cot θ = x/y
  • 正割:sec θ = 1/x
  • 餘割:csc θ = 1/y

這個定義和坐標系的定義類似,但角度θ可以是任何的數值。對於大於360°或小於-360°的角度,可以認為是逆時針(順時針)旋轉了不止一圈。而多轉或少轉了整數圈不會影響三角函數的取值。如果按弧度制的方式記錄角度,將弧長作為三角函數的輸入值(360°等於2π),那麼三角函數就是取值為全體實數\mathbb{R},周期為2π的周期函數。比如:

\sin\theta = \sin\left(\theta + 2\pi k \right), \quad \forall \theta \in \mathbb{R}, \; \; k \in \mathbb{Z}
\cos\theta = \cos\left(\theta + 2\pi k \right), \quad \forall \theta \in \mathbb{R}, \; \; k \in \mathbb{Z}

周期函數的最小正周期叫做這個函數的基本周期。正弦、餘弦、正割或餘割的基本周期是2π弧度或360°;正切或餘切的基本周期是π弧度或180°。

2.三角函数的诱导公式

  • 所谓三角函数诱导公式,就是将角n×(π/2)±α的三角函数转化为角α的三角函数。

公式一

设α为任意锐角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:对于x轴正半轴为起点轴而言,

角度制下的角的表示:
sin (α+k·360°)=sinα(k∈Z)
cos(α+k·360°)=cosα(k∈Z)
tan (α+k·360°)=tanα(k∈Z)
cot(α+k·360°)=cotα (k∈Z)
sec(α+k·360°)=secα (k∈Z)
csc(α+k·360°)=cscα (k∈Z)

公式二

设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:对于x轴负半轴为起点轴而言
弧度制下的角的表示:
sin(π+α)=-sinα
cos(π+α)=-cosα
tan(π+α)=tanα
cot(π+α)=cotα
sec(π+α)=-secα
csc(π+α)=-cscα
角度制下的角的表示:
sin(180°+α)=-sinα
cos(180°+α)=-cosα
tan(180°+α)=tanα
cot(180°+α)=cotα
sec(180°+α)=-secα
csc(180°+α)=-cscα

公式三

任意角α与 -α的三角函数值之间的关系:
sin(-α)=-sinα
cos(-α)=cosα
tan(-α)=-tanα
cot(-α)=-cotα
sec(-α)=secα
csc (-α)=-cscα

公式四

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:
角度制下的角的表示:
sin(180°-α)=sinα
cos(180°-α)=-cosα
tan(180°-α)=-tanα
cot(180°-α)=-cotα
sec(180°-α)=-secα
csc(180°-α)=cscα

公式五

利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:
弧度制下的角的表示:
sin(2π-α)=-sinα
cos(2π-α)=cosα
tan(2π-α)=-tanα
cot(2π-α)=-cotα
sec(2π-α)=secα
csc(2π-α)=-cscα
角度制下的角的表示:
sin(360°-α)=-sinα
cos(360°-α)=cosα
tan(360°-α)=-tanα
cot(360°-α)=-cotα
sec(360°-α)=secα
csc(360°-α)=-cscα

公式六

π/2±α 及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系:(⒈~⒋)
⒈ π/2+α与α的三角函数值之间的关系
弧度制下的角的表示:
sin(π/2+α)=cosα
cos(π/2+α)=—sinα
tan(π/2+α)=-cotα
cot(π/2+α)=-tanα
sec(π/2+α)=-cscα
csc(π/2+α)=secα
角度制下的角的表示:
sin(90°+α)=cosα
cos(90°+α)=-sinα
tan(90°+α)=-cotα
cot(90°+α)=-tanα
sec(90°+α)=-cscα
csc(90°+α)=secα
⒉ π/2-α与α的三角函数值之间的关系
弧度制下的角的表示:
sin(π/2-α)=cosα
cos(π/2-α)=sinα
tan(π/2-α)=cotα
cot(π/2-α)=tanα
sec(π/2-α)=cscα
csc(π/2-α)=secα
角度制下的角的表示:
sin (90°-α)=cosα
cos (90°-α)=sinα
tan (90°-α)=cotα
cot (90°-α)=tanα
sec (90°-α)=cscα
csc (90°-α)=secα
⒊ 3π/2+α与α的三角函数值之间的关系
弧度制下的角的表示:
sin(3π/2+α)=-cosα
cos(3π/2+α)=sinα
tan(3π/2+α)=-cotα
cot(3π/2+α)=-tanα
sec(3π/2+α)=cscα
csc(3π/2+α)=-secα
角度制下的角的表示:
sin(270°+α)=-cosα
cos(270°+α)=sinα
tan(270°+α)=-cotα
cot(270°+α)=-tanα
sec(270°+α)=cscα
csc(270°+α)=-secα
⒋ 3π/2-α与α的三角函数值之间的关系:
弧度制下的角的表示:
sin(3π/2-α)=-cosα
cos(3π/2-α)=-sinα
tan(3π/2-α)=cotα
cot(3π/2-α)=tanα
sec(3π/2-α)=-cscα
csc(3π/2-α)=-secα
角度制下的角的表示:
sin(270°-α)=-cosα
cos(270°-α)=-sinα
tan(270°-α)=cotα
cot(270°-α)=tanα
sec(270°-α)=-cscα
csc(270°-α)=-secα
总结:
  • 诱导公式记忆口诀:“奇变偶不变,符号看象限”。
i.     “奇、偶”指的是π/2的倍数的奇偶,“变与不变”指的是三角函数的名称的变化:“变”是指正弦变余弦,正切变余切。(反之亦然成立)“符号看象限”的含义是:把角α看做锐角,不考虑α角所在象限,看n·(π/2)±α是第几象限角,从而得到等式右边是正号还是负号。
ii.     符号判断口诀:“一全正;二正弦;三正切;四余弦”。这十二字口诀的意思就是说:第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”;第二象限内只有正弦是“+”,其余全部是“-”;第三象限内只有正切余切是“+”,其余全部是“-”;第四象限内只有余弦是“+”,其余全部是“-”,如图下所示:
3.特别角的三角函数值

4.三角函数的图像

5.同角三角函数的基本关系式
i)倒数关系
 
ii)余角关系+商的关系
 
 ii)商的关系
 
iii)平方关系
6.两角和与差的三角函数
推导(两角和差的余弦公式):

(方法 1) 如图所示, 在直角坐标系 中作单位圆 , 并作角 和 , 使角 的始边为 , 交 于点 A, 终边交 于点 B;角 始边为 , 终边交 于点 C;角 始边为 , 终边交 于点。从而点 AB, C和 D的坐标分别为,,

由两点间距离公式得

注意到 , 因此

(方法2)仍然在单位圆的框架下 , 用平面内两点间距离公式和余弦定理表达同一线段, 也可以得到我们希望的三角等式。这就是

(方法2) 如图所示, 在坐标系 中作单位圆 , 并作角 和 , 使角 和 的始边均为 , 交 于点 C, 角 终边交 于点 A,角 终边交 于点。从而点 AB的坐标为,

由两点间距离公式得

由余弦定理得

从而有

推导(两角和差的正弦公式):

(亦可用以上的方法一和方法二证得)

(方法三)

(方法3) 如图所示, 为 的 边上的高 , 为 边上的高。设 , 则。从而有

,

,

因此 ,

注意到 ,

从而有         ,

整理可得          

更多的推导见http://www.doc88.com/p-905969762597.html

7.倍角及半角的三角函数

8.三角函数的积化合差:
  • 积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的手段来证明。即只需要把等式右边用两角和差公式拆开就能证明:
sinαsinβ=-1/2[-2sinαsinβ]
=-1/2[(cosαcosβ-sinαsinβ)-(cosαcosβ+sinαsinβ)]
=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]
9.三角函数的和差化积:
 



Posted 2017年2月19日 by maths-training in category "学习内容

发表评论

电子邮件地址不会被公开。 必填项已用*标注