三月 12

等比数列

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等比数列

等比数列:是一种特殊数列。它的特点是:从第2项起,每一项与前一项的比都是一个常数。

例如数列2,4,8,16,32,\cdots,2^{197},2^{198},2^{199},\cdots

这就是一个等比数列,因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等,都等于2,21982197的比也等于2。我们把像2这样的后一项与前一项的比称之为公比,符号为q

公式

 

公比公式

根据等比数列的定义可得:

q=\frac {a_n}{a_{n-1}} \left(n\ge2\right)

 

通项公式

我们可以任意定义一个等比数列\left\{a_n\right\}

这个等比数列从第一项起分别是a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n,\cdots,公比为q,则有:

a2 = a1q
a3 = a2q = a1q2
a4 = a3q = a1q3
\cdots
以此类推可得,等比数列\left\{a_n\right\}的通项公式为:
an = an − 1q = a1qn − 1

 

求和公式

对于上面我们所定义的等比数列,即数列a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n,\cdots。我们将所有项进行累加。

于是把a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n+\cdots称为等比数列的和。记为:

\sum_{i=1}^{n} a_i

如果该等比数列的公比为q,则有:

S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n

=a_1+a_1q+a_1q^2+\cdots+a_1q^{n-1}(利用等比数列通项公式)*
先将两边同乘以公比q,有:

qS_n=a_1q+a_1q^2+\cdots+a_1q^n
该式减去*式,有:

(q − 1)Sn = a1qn − a1
然后进行一定的讨论

q\ne1时,S_n=\frac {a_1(1-q^n)}{1-q}
而当q = 1时,由★式无法解得通项公式。
但我们可以发现,此时:

S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n

=a_1+a_1q+a_1q^2+\cdots+a_1q^{n-1}
=a_1+a_1+a_1+\cdots+a_1
na1
  • 综上所述,等比数列\left\{a_n\right\}的求和公式为:
S_n=\begin{cases} \frac {a_1-a_1q^n}{1-q}, & (q\ne1) \\ na_1, & (q=1) \end{cases}
  • 经过推导,可以得到另一个求和公式:当q≠1时

{{S}_{n}}=\frac{{{a}_{1}}(1 - {{q}^{n}})}{1 - q}=\frac{{{a}_{1}} - {{a}_{1}}{{q}^{n}}}{1 - q}

 

q<1,\ge0时,等比数列无限项之和

由于当q<1,\ge0n的值不断增加时,qn的值便会不断减少而且趋于0,因此无限项之和:

S_{\infty}=\frac {a_1-a_1q^{\infty}}{1-q}=\frac {a_1-0}{1-q}=\frac {a_1}{1-q}

 

性质

如果数列\left\{a_n\right\}是等比数列,那么有以下几个性质:

  • a_n=a_mq^{n-m} (m,n\in \mathbb{N^*},n>m)
证明:当m,n\in \mathbb{N^*},n>m时,a_mq^{n-m}=a_1q^{m-1}\times q^{n-m}=a_1q^{n-1}=a_n
  • 对于m,n,s,t\in \mathbb{N^*},若\!m+n=s+t,则a_m\cdot a_n=a_s\cdot a_t
证明a_m\cdot a_n=a_1q^{m-1}\cdot a_1q^{n-1}=a_1\cdot a_1\cdot q^{n+m-2}

\!m+n=s+t
a_m\cdot a_n=a_1\cdot a_1\cdot q^{s+t-2}=a_1q^{s-1}\cdot a_1q^{t-1}=a_s\cdot a_t
  • 等比中项:在等比数列中,从第二项起,每一项都是与它等距离的前后两项的等比中项。即等比数列\left\{a_n\right\}中有三项\!a_i\!a_j\!a_k,其中j-i=k-j\ge1,则有a_j^2=a_ia_k
  • 在原等比数列中,每隔k(k\in \mathbb{N^*})取出一项,按原来顺序排列,所得的新数列仍为等比数列。
  • a_1\cdot a_2,a_3\cdot a_4,a_5\cdot a_6 \cdots也成等比数列。



Posted 2017年3月12日 by maths-training in category "学习内容

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