四月 5

等差数列

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等差数列是数列的一种。在等差数列中,任何相邻两项的差相等。该差值称为公差。例如数列3, 5, 7, 9, 11, 13, \cdots 就是一个等差数列。 在这个数列中,从第二项起,每项与其前一项之差都等于2,即公差为2。

通项公式

如果一个等差数列的首项标为\ a_1,公差标为\ d,那么该等差数列第\ n项的表达式为:

\ a_n=a_1+(n-1)d .

等差数列的任意两项之间存在关系:

\ a_n=a_m+(n-m)d

等差中项

给定任一公差为\ d的等差数列a_i=a_1+(i-1)d\qquad, i>1。从第二项\ a_2开始,前一项加后一项的和的値为该项的两倍。 例:\ a_1+ a_3=2a_2

证明:

a_{n-1}+a_{n+1} \neq 2a_n

a_1+(n-2)d+a_1+(n)d\neq2[a_1+(n-1)d]
2a_1+2nd-2d\neq2a_1+2nd-2d(矛盾)
\ a_{n-1}+a_{n+1}=2a_n

证毕

等差数列的和

等差数列的和称为等差级数。

公式

一个公差为d的等差数列a_1,a_2,\dots,a_nn项的级数为:

S_n = a_1+a_2+\dots+a_n=\sum_{i=0}^{n-1} (a_1+id)=\frac{n( a_1 + a_n)}{2} =\frac{n[ 2a_1 + (n-1)d ]}{2}.

等差级数在中文教科书中常表达为:

一个等差数列的和等于其首项与末项的和乘以项数除以2。

通常认为数学家高斯在很小的时候就发现这个公式。在他三年级的时候,他的老师让学生们做从1加到100的习题。高斯很快发现数列的规律,用上面的公式得出了5050的答案。

证明

将一个等差级数写作以下两种形式:

 S_n=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+\dots\dots+(a_1+(n-2)d)+(a_1+(n-1)d)
 S_n=(a_n-(n-1)d)+(a_n-(n-2)d)+\dots\dots+(a_n-2d)+(a_n-d)+a_n

将两公式相加来消掉公差d:

\ 2S_n=n(a_1+a_n)

整理公式,并且注意 \ a_n = a_1 + (n-1)d,我们有:

 S_n=\frac{n( a_1 + a_n)}{2}=\frac{n[ 2a_1 + (n-1)d]}{2}.

证毕

等差数列的积

等差数列的积较其和的公式复杂。给定一首项为\ a_1,公差为\ d 且其首项为正整数 \ (a_1\in\mathbb{Z}^+) 的等差数列,其前\ n项的积写作:

a_1a_2\cdots a_n = d^n {\left(\frac{a_1}{d}\right)}^{\overline{n}}

其中 x^{\overline{n}}\ x\ n次上升阶乘幂。 注意,该公式对于首项不是正数的等差数列并不适用。等差数列的积的公式是基于阶乘定义的一个推广。




Posted 2017年4月5日 by maths-training in category "学习内容

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