等比数列
等比数列 等比数列:是一种特殊数列。它的特点是:从第2项起,每一项与前一项的比都是一个常数。 例如数列。 这就是一个等比数列,因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等,都等于2,2198与2197的比也等于2。我们把像2这样的后一项与前一项的比称之为公比,符号为q。 公式 公比公式 根据等比数列的定义可得: 通项公式 我们可以任意定义一个等比数列 这个等比数列从第一项起分别是,公比为q,则有: a2 = a1q, a3 = a2q = a1q2, a4 = a3q = a1q3, , 以此类推可得,等比数列的通项公式为: an = an − 1q = a1qn − 1, 求和公式 对于上面我们所定义的等比数列,即数列。我们将所有项进行累加。 于是把称为等比数列的和。记为: 如果该等比数列的公比为q,则有: (利用等比数列通项公式)* 先将两边同乘以公比q,有: 该式减去*式,有: (q − 1)Sn = a1qn − a1★ 然后进行一定的讨论 当时, 而当q = 1时,由★式无法解得通项公式。 但我们可以发现,此时: = na1 综上所述,等比数列的求和公式为: 经过推导,可以得到另一个求和公式:当q≠1时 当时,等比数列无限项之和 由于当及n的值不断增加时,qn的值便会不断减少而且趋于0,因此无限项之和: 性质 如果数列是等比数列,那么有以下几个性质: 证明:当时, 对于,若,则 证明: ∵ ∴ 等比中项:在等比数列中,从第二项起,每一项都是与它等距离的前后两项的等比中项。即等比数列中有三项,,,其中,则有 在原等比数列中,每隔k项取出一项,按原来顺序排列,所得的新数列仍为等比数列。 也成等比数列。