三月 12

等比数列

等比数列

等比数列:是一种特殊数列。它的特点是:从第2项起,每一项与前一项的比都是一个常数。

例如数列2,4,8,16,32,\cdots,2^{197},2^{198},2^{199},\cdots

这就是一个等比数列,因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等,都等于2,21982197的比也等于2。我们把像2这样的后一项与前一项的比称之为公比,符号为q

公式

 

公比公式

根据等比数列的定义可得:

q=\frac {a_n}{a_{n-1}} \left(n\ge2\right)

 

通项公式

我们可以任意定义一个等比数列\left\{a_n\right\}

这个等比数列从第一项起分别是a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n,\cdots,公比为q,则有:

a2 = a1q
a3 = a2q = a1q2
a4 = a3q = a1q3
\cdots
以此类推可得,等比数列\left\{a_n\right\}的通项公式为:
an = an − 1q = a1qn − 1

 

求和公式

对于上面我们所定义的等比数列,即数列a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n,\cdots。我们将所有项进行累加。

于是把a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n+\cdots称为等比数列的和。记为:

\sum_{i=1}^{n} a_i

如果该等比数列的公比为q,则有:

S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n

=a_1+a_1q+a_1q^2+\cdots+a_1q^{n-1}(利用等比数列通项公式)*
先将两边同乘以公比q,有:

qS_n=a_1q+a_1q^2+\cdots+a_1q^n
该式减去*式,有:

(q − 1)Sn = a1qn − a1
然后进行一定的讨论

q\ne1时,S_n=\frac {a_1(1-q^n)}{1-q}
而当q = 1时,由★式无法解得通项公式。
但我们可以发现,此时:

S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n

=a_1+a_1q+a_1q^2+\cdots+a_1q^{n-1}
=a_1+a_1+a_1+\cdots+a_1
na1
  • 综上所述,等比数列\left\{a_n\right\}的求和公式为:
S_n=\begin{cases} \frac {a_1-a_1q^n}{1-q}, & (q\ne1) \\ na_1, & (q=1) \end{cases}
  • 经过推导,可以得到另一个求和公式:当q≠1时

{{S}_{n}}=\frac{{{a}_{1}}(1 - {{q}^{n}})}{1 - q}=\frac{{{a}_{1}} - {{a}_{1}}{{q}^{n}}}{1 - q}

 

q<1,\ge0时,等比数列无限项之和

由于当q<1,\ge0n的值不断增加时,qn的值便会不断减少而且趋于0,因此无限项之和:

S_{\infty}=\frac {a_1-a_1q^{\infty}}{1-q}=\frac {a_1-0}{1-q}=\frac {a_1}{1-q}

 

性质

如果数列\left\{a_n\right\}是等比数列,那么有以下几个性质:

  • a_n=a_mq^{n-m} (m,n\in \mathbb{N^*},n>m)
证明:当m,n\in \mathbb{N^*},n>m时,a_mq^{n-m}=a_1q^{m-1}\times q^{n-m}=a_1q^{n-1}=a_n
  • 对于m,n,s,t\in \mathbb{N^*},若\!m+n=s+t,则a_m\cdot a_n=a_s\cdot a_t
证明a_m\cdot a_n=a_1q^{m-1}\cdot a_1q^{n-1}=a_1\cdot a_1\cdot q^{n+m-2}

\!m+n=s+t
a_m\cdot a_n=a_1\cdot a_1\cdot q^{s+t-2}=a_1q^{s-1}\cdot a_1q^{t-1}=a_s\cdot a_t
  • 等比中项:在等比数列中,从第二项起,每一项都是与它等距离的前后两项的等比中项。即等比数列\left\{a_n\right\}中有三项\!a_i\!a_j\!a_k,其中j-i=k-j\ge1,则有a_j^2=a_ia_k
  • 在原等比数列中,每隔k(k\in \mathbb{N^*})取出一项,按原来顺序排列,所得的新数列仍为等比数列。
  • a_1\cdot a_2,a_3\cdot a_4,a_5\cdot a_6 \cdots也成等比数列。
三月 12

2017年B07数学培训队第14次例常活动报告

日期: 2017年3月11 日(星期六) 记录者:蔡斯乐
时间: 7:50a.m.~1:00p.m.
地点: D404(高一), D405(初三), D406(初二), D407(初一)

出席人数:59 /61
缺席人数: 2
缺席者 :吴启正,黄诗喻
活动流程:
7:50am – 8:00am 秘书点名
8:00am – 10:30am老师进行授课:
初一生: KMC 2015,KMC 2016(1-15)
初二生:数独,益智题
初三生:变数法
高一生:三角函数
11:10am – 12:55pm 老师进行授课:
初一生: 到电脑室做网上数学题
初二生:到电脑室做网上数学题
初三生:变数法
高一生:三角函数
12:55pm – 1:00pm 秘书点名

活动总结:今天的联课,初一的学生在上半段时进行了KMC数学比赛的讨论,下半段则与初二的同学到电脑室做网上练习。初二的学生在上半段的时候进行了益智游戏。初三的学生则学习了新的知识-变数法,。高一的学生则继续学习星期三的三角函数。今天大家的表现都很好,我们希望数培能在今年的比赛表现得比以往更好。

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三月 9

2017年B07数学培训队第13次例常活动报告

日期: 2017年3月8日(星期三) 记录者:蔡斯乐
时间: 2:50p.m~4:10p.m.
地点: D407(初一), D405(初三), D406(初二), D404(高一)

出席人数:61/62
缺席人数: 1
缺席者 :黄贯慷
活动流程:
2:50pm – 3:00pm 秘书点名
3:00pm – 4:05a.m. 老师进行授课:
初一生:讨论2014年KMC 习题,2015 年KMC 习题
初二生:
初三生:讨论2008年华罗庚数学比赛习题
高一生:三角函数
4:05p.m. ~ 4:10p.m. 秘书点名
活动总结:
今天的联课,初一的学生非常认真地上课。初二的学生则生与老师讨论习题。初三的学生与老师一同讨论了华罗庚数学比赛,以便能应付今年的华罗庚数学比赛。高一的学生则学习了三角函数。今天大家的表现都很好,我们希望数培能在今年的比赛表现得比以往更好。

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三月 5

2017年B07数学培训队第12次例常活动报告

2017B07数学培训队第12次例常活动报告

 

日期: 2017年3月4日(星期六)                                                                                               记录者:蔡斯乐

时间: 7:50a.m.~1:00p.m.

地点:  D404课室(高一), D405课室(初三), D406课室(初二), D407课室(初一)

 

出席人数:60/63

缺席人数: 2

缺席者   谢镇东,吕家乐

活动流程:

7:50am – 8:00am 秘书点名

8:00am – 10:30am老师进行授课:

初一生:  多边形,进行小游戏,讨论2014年KMC题目(附录 1)

初二生: 做2013年台南市国民中学和完全中学竞赛第二阶段习题  (附录2)

初三生:比与比例 (附录3)

高一生:三角函数 (附录4)

11:10am – 12:55pm老师进行授课:

初一生:做2015年KMC数学比赛题

初二生:做2013年台南市国民中学和完全中学竞赛第二阶段习题

初三生:做2010年华罗庚赛题

高一生:三角函数

12:55pm – 1:00pm 秘书点名

 

活动总结:今天的联课,初一的学生于8时至9时进行了小游戏环节,并在接下来的时间进行教学及讨论习题。由于初二的负责老师在下半段时间出席学校培训活动,因从初二的学生在下半段的时间完成了习题后便自习。初三和高一的学生在老师讲课时有认真听课,在解题时也保持认真的态度。

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三月 4

2017年B07数学培训队第11次例常活动报告

日期: 2017年3月3日(星期三)                                                                                               记录者:蔡斯乐

时间: 2:50p.m~4:10p.m.

地点:  D407(初一), D405(初三), D406(初二), D404(高一)

 

出席人数:84/84

缺席人数: 0

缺席者  

活动流程:

2:50pm – 3:00pm 秘书点名

3:00pm – 4:05a.m. 老师进行授课:

初一生:讨论2014年KMC 习题(1-18)

初二生:数学游戏-猜密码

初三生:讨论2008年华罗庚数学比赛习题

高一生:进行能力测试

4:05p.m. ~ 4:10p.m. 秘书点名

活动总结:

今天的联课,初一的学生第一次接触KMC习题,所以非常认真地听老师教课。初二的学生则进行了猜密码的数学游戏。初三的学生与老师一同讨论了华罗庚数学比赛,以便能应付今年的华罗庚数学比赛。高一的学生则进行了能力测试来检测他们的水平。今天大家的表现都很好,我们希望数培能在今年的比赛表现得比以往更好。

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