机率论是研究随机性或不确定性等现象的数学。更精确地说,机率论是用来模拟实验在同一环境下会产生不同结果的情状。典型的随机实验有掷骰子、扔硬币、抽扑克牌以及轮盘游戏等。 数学家和精算师认为机率是在0至1之间之闭区间的数字,指定给一发生与失败是随机的“事件”。机率P(A)根据机率公理来指定给事件A。 生活例子 人们对概率总是有一点触摸不清的感觉,而事实上也有很多看似奇异的结果,甚至错误的认识: 六合彩:在六合彩(49选6)中,一共有13983816种可能性(参阅组合数学),如果每周都买一个不相同的号,最后可以在13983816/52(周)=268919年后获得头等奖。事实上,即使每周买相同的号,获得头奖的概率也是相同的。 六合彩:仍然是六合彩。买 5, 17, 19, 24, 33, 49 中奖概率高还是买 11,12,13,14,15,16 的中奖概率高? 概率论说:一样。 生日:在一个足球场上有23个人(2×11个运动员和1个裁判员),不可思议的是,在这23人当中至少有两个人的生日是在同一天的机率要大于50%。 轮盘游戏:在游戏中玩家普遍认为,在连续出现多次红色后,出现黑色的机率会越来越大。这种判断也是错误的,即出现黑色的机率每次是相等的,因为球本身并没有“记忆”,它不会意识到以前都发生了什么,其机率始终是 18/37。 赢取电视节目里的名车:在参赛者面前有三扇关闭的门,其中只有一扇后面有名车,而其余的后面是山羊。游戏规则是,参赛者先选取一扇门,但在他打开之前,主持人在其余两扇门中打开了一扇有山羊的门,并询问参赛者是否改变主意选择另一扇门,以使赢得名车的概率变大。正确的分析结果是,假如不管开始哪一扇门被选,主持人都打开其余两扇门中有山羊的那一扇并询问参赛者是否改变主意,则改变主意会使赢得汽车的机率增加一倍;假如主持人只在有名车那扇门被选中时劝诱参赛者打开其它门,则改变主意必输。(“标准”的三门问题中是第一种情况。) 历史 作为数学统计基础的概率论的创始人分别是法国数学家帕斯卡和费马,其可追溯到公元17世纪。当时的法国宫廷贵族里盛行着掷骰子游戏,游戏规则是玩家连续掷 4 次骰子,如果其中没有 6 点出现,玩家赢,如果出现一次 6 点,则庄家(相当于现在的赌场)赢。按照这一游戏规则,从长期来看,庄家扮演赢家的角色,而玩家大部分时间是输家,因为庄家总是要靠此为生的,因此当时人们也就接受了这种现象。 后来为了使游戏更刺激,游戏规则发生了些许变化,玩家这回用 2 个骰子连续掷 24 次,不同时出现2个6点,玩家赢,否则庄家赢。当时人们普遍认为,2 次出现 6 点的概率是一次出现 6 点的概率的 1 / 6 ,因此 6 倍于前一种规则的次数,也既是 24 次赢或输的概率与以前是相等的。然而事实却刚好相反,从长期来看,这回庄家处于输家的状态,于是他们去请教当时的数学家帕斯卡,求助其对这种现象作出解释。 其他对概率论的发展作出重要贡献的人还有荷兰物理、数学家惠更斯,瑞士物理、数学家伯努利,法国数学家美弗,法国数学、天文学家拉普拉斯,德国数学家高斯,法国物理、数学家泊松,意大利数学、医学家卡尔达诺以及苏联数学家柯尔莫哥洛夫。