二月 23

2017年B07数学培训队第9次例常活动报告

2017B07数学培训队第9次例常活动报告

日期: 2017年2月22日(星期三)                                                                                            记录者:陈天衡

时间: 2:50p.m.~4:10p.m.

地点:  D404(初一), D405(初三), D406(初二), D407(高一)

 

出席人数: 81/84

缺席人数: 3

缺席者   张俊南,黄贯慷,谭睿腾

活动流程:

2:50pm – 3:00pm 秘书点名

3:00pm – 4:05a.m. 老师进行授课:

初一生: 讨论2009年ICAS赛题, 从题目中介绍各种知识(附录1)

初二生:自习

初三生:讨论2008年华罗庚比赛赛题 (附录2)

高一生:直线方程式

4:05p.m. ~ 4:10p.m. 秘书点名

活动总结:

由于老师认为初一生的数学程度较好,因此老师在授课时直接从赛题中着手,在讨论题目时介绍各种相关的知识,如LCM,HCF,代数等。由于负责初二学生的黄嵩凌老师缺席,因此初二的学生在活动时间自习之前所学过的知识。初三和高一的学生上课态度良好,都有在认真听老师授课。

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二月 19

三角函数

[请点击标题]

1.几何定义

 

a, b, h分別為角A的對邊、鄰邊和斜邊

在直角三角形中,仅有銳角(大小在0到90度之間的角)三角函數的定義。給定一個銳角 \theta,可以做出一個直角三角形,使得其中的一個內角是 \theta。設這個三角形中,\theta 的對邊、鄰邊和斜邊長度分別是 a, b, h,那麼

\theta 的正弦是對邊與斜邊的比值:\sin{\theta}=\frac{a}{h}

\theta 的餘弦是鄰邊與斜邊的比值:\cos{\theta}=\frac{b}{h}

\theta 的正切是對邊與鄰邊的比值:\tan{\theta}=\frac{a}{b}

\theta 的餘切是鄰邊與對邊的比值:\cot{\theta}=\frac{b}{a}

\theta 的正割是斜邊與鄰邊的比值:\sec{\theta}=\frac{h}{b}

\theta 的餘割是斜邊與對邊的比值:\csc{\theta}=\frac{h}{a}

  • 直角坐標系中的定義

Trig functions on descartes.png

P( xy )是平面直角坐標系xOy中的一個點,θ是橫軸正向\vec{Ox}逆時針旋轉到\vec{OP}方向所形成的角,r = \sqrt {x^2 + y^2 }>0P到原點O的距離,則θ的六個三角函數定義為:

正弦: \sin \theta = \frac{y}{r}, 正切: \tan \theta = \frac{y}{x}, 正割: \sec \theta = \frac{r}{x},
餘弦: \cos \theta = \frac{x}{r}, 餘切: \cot \theta = \frac{x}{y}, 餘割: \csc \theta = \frac{r}{y}.

這樣可以對0到360度的角度定義三角函數。要注意的是以上的定義都只在定義式有意義的時候成立。比如說當x=0 的時候,\frac{y}{x}\frac{r}{x}都沒有意義,這說明對於90度角和270度角,正切和正割沒有定義。同樣地,對於0度角和180度角,餘切和餘割沒有定義。

  • 單位圓定義

三角函數也可以依據直角坐標系xOy中半徑為1,圓心為原點O的單位圓來定義。給定一個角度θ,設A(1, 0)為起始點,如果θ > 0則將OA逆時針轉動,如果θ < 0則順時針移動,直到轉過的角度等於θ為止。設最終點A轉到的位置為P (x, y),那麼:

  • 正弦:sin θ = y
  • 餘弦:cos θ = x
  • 正切:tan θ = y/x
  • 餘切:cot θ = x/y
  • 正割:sec θ = 1/x
  • 餘割:csc θ = 1/y

這個定義和坐標系的定義類似,但角度θ可以是任何的數值。對於大於360°或小於-360°的角度,可以認為是逆時針(順時針)旋轉了不止一圈。而多轉或少轉了整數圈不會影響三角函數的取值。如果按弧度制的方式記錄角度,將弧長作為三角函數的輸入值(360°等於2π),那麼三角函數就是取值為全體實數\mathbb{R},周期為2π的周期函數。比如:

\sin\theta = \sin\left(\theta + 2\pi k \right), \quad \forall \theta \in \mathbb{R}, \; \; k \in \mathbb{Z}
\cos\theta = \cos\left(\theta + 2\pi k \right), \quad \forall \theta \in \mathbb{R}, \; \; k \in \mathbb{Z}

周期函數的最小正周期叫做這個函數的基本周期。正弦、餘弦、正割或餘割的基本周期是2π弧度或360°;正切或餘切的基本周期是π弧度或180°。

2.三角函数的诱导公式

  • 所谓三角函数诱导公式,就是将角n×(π/2)±α的三角函数转化为角α的三角函数。

公式一

设α为任意锐角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:对于x轴正半轴为起点轴而言,

角度制下的角的表示:
sin (α+k·360°)=sinα(k∈Z)
cos(α+k·360°)=cosα(k∈Z)
tan (α+k·360°)=tanα(k∈Z)
cot(α+k·360°)=cotα (k∈Z)
sec(α+k·360°)=secα (k∈Z)
csc(α+k·360°)=cscα (k∈Z)

公式二

设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:对于x轴负半轴为起点轴而言
弧度制下的角的表示:
sin(π+α)=-sinα
cos(π+α)=-cosα
tan(π+α)=tanα
cot(π+α)=cotα
sec(π+α)=-secα
csc(π+α)=-cscα
角度制下的角的表示:
sin(180°+α)=-sinα
cos(180°+α)=-cosα
tan(180°+α)=tanα
cot(180°+α)=cotα
sec(180°+α)=-secα
csc(180°+α)=-cscα

公式三

任意角α与 -α的三角函数值之间的关系:
sin(-α)=-sinα
cos(-α)=cosα
tan(-α)=-tanα
cot(-α)=-cotα
sec(-α)=secα
csc (-α)=-cscα

公式四

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:
角度制下的角的表示:
sin(180°-α)=sinα
cos(180°-α)=-cosα
tan(180°-α)=-tanα
cot(180°-α)=-cotα
sec(180°-α)=-secα
csc(180°-α)=cscα

公式五

利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:
弧度制下的角的表示:
sin(2π-α)=-sinα
cos(2π-α)=cosα
tan(2π-α)=-tanα
cot(2π-α)=-cotα
sec(2π-α)=secα
csc(2π-α)=-cscα
角度制下的角的表示:
sin(360°-α)=-sinα
cos(360°-α)=cosα
tan(360°-α)=-tanα
cot(360°-α)=-cotα
sec(360°-α)=secα
csc(360°-α)=-cscα

公式六

π/2±α 及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系:(⒈~⒋)
⒈ π/2+α与α的三角函数值之间的关系
弧度制下的角的表示:
sin(π/2+α)=cosα
cos(π/2+α)=—sinα
tan(π/2+α)=-cotα
cot(π/2+α)=-tanα
sec(π/2+α)=-cscα
csc(π/2+α)=secα
角度制下的角的表示:
sin(90°+α)=cosα
cos(90°+α)=-sinα
tan(90°+α)=-cotα
cot(90°+α)=-tanα
sec(90°+α)=-cscα
csc(90°+α)=secα
⒉ π/2-α与α的三角函数值之间的关系
弧度制下的角的表示:
sin(π/2-α)=cosα
cos(π/2-α)=sinα
tan(π/2-α)=cotα
cot(π/2-α)=tanα
sec(π/2-α)=cscα
csc(π/2-α)=secα
角度制下的角的表示:
sin (90°-α)=cosα
cos (90°-α)=sinα
tan (90°-α)=cotα
cot (90°-α)=tanα
sec (90°-α)=cscα
csc (90°-α)=secα
⒊ 3π/2+α与α的三角函数值之间的关系
弧度制下的角的表示:
sin(3π/2+α)=-cosα
cos(3π/2+α)=sinα
tan(3π/2+α)=-cotα
cot(3π/2+α)=-tanα
sec(3π/2+α)=cscα
csc(3π/2+α)=-secα
角度制下的角的表示:
sin(270°+α)=-cosα
cos(270°+α)=sinα
tan(270°+α)=-cotα
cot(270°+α)=-tanα
sec(270°+α)=cscα
csc(270°+α)=-secα
⒋ 3π/2-α与α的三角函数值之间的关系:
弧度制下的角的表示:
sin(3π/2-α)=-cosα
cos(3π/2-α)=-sinα
tan(3π/2-α)=cotα
cot(3π/2-α)=tanα
sec(3π/2-α)=-cscα
csc(3π/2-α)=-secα
角度制下的角的表示:
sin(270°-α)=-cosα
cos(270°-α)=-sinα
tan(270°-α)=cotα
cot(270°-α)=tanα
sec(270°-α)=-cscα
csc(270°-α)=-secα
总结:
  • 诱导公式记忆口诀:“奇变偶不变,符号看象限”。
i.     “奇、偶”指的是π/2的倍数的奇偶,“变与不变”指的是三角函数的名称的变化:“变”是指正弦变余弦,正切变余切。(反之亦然成立)“符号看象限”的含义是:把角α看做锐角,不考虑α角所在象限,看n·(π/2)±α是第几象限角,从而得到等式右边是正号还是负号。
ii.     符号判断口诀:“一全正;二正弦;三正切;四余弦”。这十二字口诀的意思就是说:第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”;第二象限内只有正弦是“+”,其余全部是“-”;第三象限内只有正切余切是“+”,其余全部是“-”;第四象限内只有余弦是“+”,其余全部是“-”,如图下所示:
3.特别角的三角函数值

4.三角函数的图像

5.同角三角函数的基本关系式
i)倒数关系
 
ii)余角关系+商的关系
 
 ii)商的关系
 
iii)平方关系
6.两角和与差的三角函数
推导(两角和差的余弦公式):

(方法 1) 如图所示, 在直角坐标系 中作单位圆 , 并作角 和 , 使角 的始边为 , 交 于点 A, 终边交 于点 B;角 始边为 , 终边交 于点 C;角 始边为 , 终边交 于点。从而点 AB, C和 D的坐标分别为,,

由两点间距离公式得

注意到 , 因此

(方法2)仍然在单位圆的框架下 , 用平面内两点间距离公式和余弦定理表达同一线段, 也可以得到我们希望的三角等式。这就是

(方法2) 如图所示, 在坐标系 中作单位圆 , 并作角 和 , 使角 和 的始边均为 , 交 于点 C, 角 终边交 于点 A,角 终边交 于点。从而点 AB的坐标为,

由两点间距离公式得

由余弦定理得

从而有

推导(两角和差的正弦公式):

(亦可用以上的方法一和方法二证得)

(方法三)

(方法3) 如图所示, 为 的 边上的高 , 为 边上的高。设 , 则。从而有

,

,

因此 ,

注意到 ,

从而有         ,

整理可得          

更多的推导见http://www.doc88.com/p-905969762597.html

7.倍角及半角的三角函数

8.三角函数的积化合差:
  • 积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的手段来证明。即只需要把等式右边用两角和差公式拆开就能证明:
sinαsinβ=-1/2[-2sinαsinβ]
=-1/2[(cosαcosβ-sinαsinβ)-(cosαcosβ+sinαsinβ)]
=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]
9.三角函数的和差化积:
 
二月 19

2017年B07数学培训队第8次例常活动报告

日期:2017年2月18日(星期六)                                                 记录者:谢镇东
时间:7.50a.m. ~ 1.00p.m.
地点:D407(初一),D406(初二),D405(初三),D404(高一)

出席人数:51/63
缺席人数:12
缺席者:郑芷芸、龚征驿、杨权炜、朱键霖、曾冠择、赖玄晔、陈正栋、陈泰诚、黄国滨、丘道渊、张俊男、刘键洋
活动流程:

7.50a.m.-8.00a.m. 秘书点名

8.00a.m.-10.30a.m. 顾问老师授课

初一:讨论2013年KMC,2009年ICAS Mathematics Paper E,
几何面积公式及完全平方数(附录一)

初二:讨论2010年AMC中级卷(附录二)

初三:等差及等比数列(附录三)
高一:直线方程与参数(附录四)

11.10a.m.-12.55p.m. 顾问老师授课:

初一:讨论2010年AMC初级卷(附录五)

初二:讨论2010年AMC初级卷

初三:等差及等比数列

高一:直线方程与参数

12.55p.m.-1.00p.m. 秘书点名

活动总结:

由于初一及初三的培训老师于下半段出席培训,因此初一会员于11am-12.55pm与初二会员一同上课,讨论2010年AMC初级卷,共同学习。初三会员则继续完成老师布置的作业。就总体而言,全体会员都非常认真且专注地上课以为日后的比赛做充足的准备。

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二月 16

2017年B07数学培训队第7次例常活动报告

2017B07数学培训队第7次例常活动报告

 

日期: 2017年2月15日(星期三)                                                                                            记录者:蔡斯乐

时间: 2:50p.m.~4:10p.m.

地点:  D404(初一), D405(初三), D406(初二), D407(高一)

 

出席人数:81/84

缺席人数: 2

缺席者   :陈泰诚,黄贯慷

活动流程:

2:50pm – 3:00pm 秘书点名

3:00pm – 4:05a.m. 老师进行授课:

初一生: 形状(附录一)

初二生:讨论AMC习题

初三生:团康

高一生:自习

4:05p.m. ~ 4:10p.m. 秘书点名

活动总结:

今天的联课,初一的学生学习了新的知识点,初二的学生今天与老师讨论了较难的AMC习题。初三的学生则进行了团康。高一的学生则做了一些老师在PPT设计的习题。今天大部分的人表现都很好,我们希望数培能在今年表现得比以往更好。

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二月 8

概率论

机率论是研究随机性或不确定性等现象的数学。更精确地说,机率论是用来模拟实验在同一环境下会产生不同结果的情状。典型的随机实验有掷骰子、扔硬币、抽扑克牌以及轮盘游戏等。
数学家和精算师认为机率是在0至1之间之闭区间的数字,指定给一发生与失败是随机的“事件”。机率P(A)根据机率公理来指定给事件A。

生活例子

人们对概率总是有一点触摸不清的感觉,而事实上也有很多看似奇异的结果,甚至错误的认识:
六合彩:在六合彩(49选6)中,一共有13983816种可能性(参阅组合数学),如果每周都买一个不相同的号,最后可以在13983816/52(周)=268919年后获得头等奖。事实上,即使每周买相同的号,获得头奖的概率也是相同的。
六合彩:仍然是六合彩。买 5, 17, 19, 24, 33, 49 中奖概率高还是买 11,12,13,14,15,16 的中奖概率高? 概率论说:一样。
生日:在一个足球场上有23个人(2×11个运动员和1个裁判员),不可思议的是,在这23人当中至少有两个人的生日是在同一天的机率要大于50%。
轮盘游戏:在游戏中玩家普遍认为,在连续出现多次红色后,出现黑色的机率会越来越大。这种判断也是错误的,即出现黑色的机率每次是相等的,因为球本身并没有“记忆”,它不会意识到以前都发生了什么,其机率始终是 18/37。
赢取电视节目里的名车:在参赛者面前有三扇关闭的门,其中只有一扇后面有名车,而其余的后面是山羊。游戏规则是,参赛者先选取一扇门,但在他打开之前,主持人在其余两扇门中打开了一扇有山羊的门,并询问参赛者是否改变主意选择另一扇门,以使赢得名车的概率变大。正确的分析结果是,假如不管开始哪一扇门被选,主持人都打开其余两扇门中有山羊的那一扇并询问参赛者是否改变主意,则改变主意会使赢得汽车的机率增加一倍;假如主持人只在有名车那扇门被选中时劝诱参赛者打开其它门,则改变主意必输。(“标准”的三门问题中是第一种情况。)

历史

作为数学统计基础的概率论的创始人分别是法国数学家帕斯卡和费马,其可追溯到公元17世纪。当时的法国宫廷贵族里盛行着掷骰子游戏,游戏规则是玩家连续掷 4 次骰子,如果其中没有 6 点出现,玩家赢,如果出现一次 6 点,则庄家(相当于现在的赌场)赢。按照这一游戏规则,从长期来看,庄家扮演赢家的角色,而玩家大部分时间是输家,因为庄家总是要靠此为生的,因此当时人们也就接受了这种现象。
后来为了使游戏更刺激,游戏规则发生了些许变化,玩家这回用 2 个骰子连续掷 24 次,不同时出现2个6点,玩家赢,否则庄家赢。当时人们普遍认为,2 次出现 6 点的概率是一次出现 6 点的概率的 1 / 6 ,因此 6 倍于前一种规则的次数,也既是 24 次赢或输的概率与以前是相等的。然而事实却刚好相反,从长期来看,这回庄家处于输家的状态,于是他们去请教当时的数学家帕斯卡,求助其对这种现象作出解释。
其他对概率论的发展作出重要贡献的人还有荷兰物理、数学家惠更斯,瑞士物理、数学家伯努利,法国数学家美弗,法国数学、天文学家拉普拉斯,德国数学家高斯,法国物理、数学家泊松,意大利数学、医学家卡尔达诺以及苏联数学家柯尔莫哥洛夫。

二月 5

2017年B07数学培训队第5次例常活动报告

日期:2017年2月4日(星期六)                                                   记录者:谢镇东

时间:7.50a.m. ~ 1.00p.m.
地点:D407(初一),D406(初二),D405(初三),D404(高一)

出席人数:68/84
缺席人数:16
缺席者:李冬恒、郑芷芸、翁玮琳、林煌捷、李传觉、龚征驿、杨权炜、朱键霖、曾冠择、赖玄晔、陈正栋、陈泰诚、黄国滨、丘道渊、张俊男、刘键洋
活动流程:

7.50a.m.-8.00a.m. 秘书点名

8.00a.m.-10.30a.m. 顾问老师授课

初一:趣味数学(附录一)

初二:三角函数(附录二)

初三:圆(附录三)
高一:根式(附录四)

11.10a.m.-12.55p.m. 会员自行解题:

初一:自行解题

初二:趣味数学(附录一)

初三:圆(附录三)

高一:根式(附录四)

12.55p.m.-1.00p.m. 秘书点名

活动总结:

各年级会员都认真且安静地上课,会员们也显得较踊跃发问问题。虽然下半段的联课时段各年级老师都不在课室但会员们都认真地解老师于下课前所写在白板上的题目,以巩固所学。总体而言,各年级会员都认真且安静地上课。

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二月 1

2017年新春售卖活动

日期:1月24-26日

活动内容重点、形式、规划、与特色

配合农历新年,会员们在伯才堂与在庙会当天于第二羽球场售卖了棉花糖,配上了苹果和巧克力酱。会员们通过分派传单,订购单予各班级,因此获得了不错的回响与利润。会员们被分配成几个时段负责售卖棉花糖。此项活动的特色是会员们学习了如何为数学培训队获得足够高的利润。

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会员在活动中如何学习

会员们在筹备的过程中学习了如何降低成本,拟定棉花糖售价,进行宣传来提升数学培训队在新春售卖活动的利润。此外,会员们也学习了如何与人沟通,介绍本学会售卖的物品之特别之处以吸引顾客。最后,会员们也在此项活动中培养了团结合作的精神,从而培养了会员们之间的感情,增进会员们之间的凝聚力。

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在活动中如何达到学习目标

筹委们积极响应此项活动,激起会员们积极向上的心态,对于此项活动的参与感到蠢蠢欲动,迫不及待。会员们积极讨论售卖活动计划,分配工作,因此所有会员们皆有学习的机会。在筹委们的带领下,会员们有明确的目标与方向准备此项活动,包括材料的准备,场地的设计,皆得到会员们的热烈参与,大家的各项学习成果显著。

 

执委团/领导层在进行活动时有什么优点及面对什么困难

执委团/领导层在进行活动时积极互相鼓励,以至于大家能够齐心合力地完成各项任务。执委团/领导层在进行活动时面对的困难是人手分配不足,以至于不足够人手收拾摊位,此外,执委团/领导层也无法控制会员们准备棉花糖的数量,导致浪费。

 

会员们在活动中良好的学习表现、不足的地方及解决方案

会员们在活动中都非常积极与努力,不管是筹备方面或售卖活动都能把任务完成得很完美。会员们不足的地方就是制作与准备过多的棉花糖,无法售出。此外,会员们也在收拾摊位时有点小混乱,一些团员们赶着回班以至于只有少数人在摊位收拾与清洗餐具,效率不足。筹委们应该也需要事先分配人手来收拾摊位。此外,筹委们也需要控制会员们准备棉花糖的数量。最后,我们的宣传单的准备工作出现问题,以至于太迟派发,所以负责人也应更早完成此项工作。

 

会员们的满意度调查及会员们对活动的建议

会员们对于此项活动基本满意,唯棉花糖在包装过程中出现棉花糖因置放时间过长而不新鲜,因此得到了不少的投诉,导致会员们需要重新准备新的棉花糖予顾客。会员们建议下次的新春售卖活动能够售卖各式各样的食物。此外,会员们建议筹委们使用学校广播系统宣传数学培训队售卖的物品与特色,以获得更高的利润,利于数学培训队的发展。

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