九月 11

2018年度会员名单

  1. 江欣洁 18298 J1A
  2. 张添皓 18038 J1A
  3. 萧玮諶 18082 J1B
  4. 陈以轾 18111 J1B
  5. 杜赋兴 18150 J1C
  6. 黄皓文 18165 J1C
  7. 黄于哲 18172 J1C
  8. 关之享 18270 J1E
  9. 聂佳文 18314 J1F
  10. 张兆骞 18327 J1F
  11. 郑嘻 18407 J1H
  12. 李智圣 18447 J1H
  13. 黃裕楷 18516 J1I
  14. 张优仁 17033 J1A
  15. 梁哲铭 17042 J2A
  16. 朱振铭 17088 J2B
  17. 吴启正 17100 J2B
  18. 陈立航 17107 J2B
  19. 黄诗喻 17132 J2C
  20. 林敬凯 17143 J2C
  21. 李延真 17157 J2C
  22. 吕家乐 17160 J2C
  23. 蕈榜安 17164 J2C
  24. 魏华志 17166 J2C
  25. 曾绣睛 17172 J2D
  26. 廖世康 17209 J2D
  27. 黄豫文 17214 J2D
  28. 黄子豪 17215 J2D
  29. 徐梓进 17199 J2D
  30. 林智宏 17546 J2J
  31. 赵乐恩 16010 J3A
  32. 陈骏鸣 16033 J3A
  33. 徐耀锋 16039 J3A
  34. 许敬仁 16049 J3A
  35. 萧玮贤 16051 J3A
  36. 温爵玮 16105 J3B
  37. 朱毅恳 17824 J3D
  38. 蔡斯乐 16202 J3D
  39. 林煌捷 16212 J3D
  40. 黄国滨 16271 J3E
  41. 丘道渊 16273 J3E
  42. 陈汉汶 16275 J3E
  43. 陈錦顺 16276 J3E
  44. 萧凯轩 16329 J3F
  45. 沈宏叡 16330 J3F
  46. 邱展超 15207 S1C3
  47. 曾冠择 15257 S1S1
  48. 曾子航 15200 S1S1
  49. 吴景图 15261 S1S1
  50. 廖晋德 15153 S1S1
  51. 李传觉 15154 S1S1
  52. 林博征 15099 S1S1
  53. 林喜杰 15209 S1S1
  54. 林智扬 15210 S1S1
  55. 冯子恒 15203 S1S2
  56. 劳翊轩 15211 S1S2
  57. 王子谦 15271 S1S2
  58. 陈天衡 15050 S1S2
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五月 23

圆的解析几何性质和定理

〖圆的解析几何方程〗

圆的标准方程:在平面直角坐标系中,以点O(a,b)为圆心,以r为半径的圆的标准方程是(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。

圆的一般方程:把圆的标准方程展开,移项,合并同类项后,可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0。和标准方程对比,其实D=-2a,E=-2b,F=a^2+b^2。

圆的离心率e=0,在圆上任意一点的曲率半径都是r。

〖圆与直线的位置关系判断〗

平面内,直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是:

1.由Ax+By+C=0,可得y=(-C-Ax)/B,(其中B不等于0),代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0,即成为一个关于x的一元二次方程f(x)=0。利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下:

如果b^2-4ac>0,则圆与直线有2交点,即圆与直线相交。
如果b^2-4ac=0,则圆与直线有1交点,即圆与直线相切。
如果b^2-4ac<0,则圆与直线有0交点,即圆与直线相离。

2.如果B=0即直线为Ax+C=0,即x=-C/A,它平行于y轴(或垂直于x轴),将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。令y=b,求出此时的两个x值x1、x2,并且规定x1<x2,那么:

当x=-C/A<x1或x=-C/A>x2时,直线与圆相离;
当x1<x=-C/A<x2时,直线与圆相交;
半径r,直径d

在直角坐标系中,圆的解析式为:(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

x^2+y^2+Dx+Ey+F=0
=> (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=D^2/4+E^2/4-F
=> 圆心坐标为(-D/2,-E/2)

五月 14

数里数里有个谜?

什么是数里数里有个谜?是数谜啦!(路人问:“数谜是什么呀?”)让我介绍一下……当大家还在钻研数独Sudoku,究竟填写1至9这几个数字的窍门时,另一个相类的游戏于最近迅速火爆,这就是Kakuro。Kakuro在英美等地人气急升,它的好玩之处在于既有Sudoku的逻辑推理,还多了加数运算。

在空格内选添1-9中一个数字,最终目的使那些数字加起来之和与所给的数字相等。说起来简单,实际上想在游戏中过关可不是那么容易的。

Kakuro相比Sudoku更难玩,除了涉及逻辑推理,更要大家计算加数。与Sudoku一样,是将一串数字加到面板上,大前提是加入的数字是空格旁边数字的总和,还有该总和算式内的数字不能重复。

玩Kakuro,会用到在小学时期的加数运算法,如要填入3个方格,单是总和9便已经有3个配搭,包括1+2+6、1+3+5、2+3+4;再者,数字的次序可以不同,这样便有18个组合,究竟哪个才是正确答案,这就是游戏的最困难地方。

Kakuro是一款在游戏中需要增加运算(加法)的智力游戏,逻辑推理性很强。与数独玩法相近但趣味更丰富、挑战性更大。Kakuro的玩法与数独相似,有的是由3乘以3的9个方格组成,每个方格又分成3乘以3的9格,在空格内选添1至9中的一个数字,最终目的是使那些数字加起来之和与所给出的数字相等。 也有的是8乘10的方格组成,其他刚相同。

是不是很想玩了呢?来吧~

q01

解到了吗?答案请往下卷~
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四月 25

〖几何中圆的定义〗

几何说:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心,定长称为半径。
轨迹说:平面上一动点以一定点为中心,一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周,简称圆。
集合说:到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。
〖圆的相关量〗
圆周率:圆周长度与圆的直径长度的比叫做圆周率,值是3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679…,通常用π表示,计算中常取3.14为它的近似值(但奥数常取3或3.1416)。
圆弧和弦:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。
圆心角和圆周角:顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上,且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。
内心和外心:过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆,其圆心称为内心。
扇形:在圆上,由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径称为圆锥的母线。
〖圆和圆的相关量字母表示方法〗
圆—⊙ 半径—r 弧—⌒ 直径—d
扇形弧长/圆锥母线—l 周长—C 面积—S
〖圆和其他图形的位置关系〗
圆和点的位置关系:以点P与圆O的为例(设P是一点,则PO是点到圆心的距离),P在⊙O外,PO>r;P在⊙O上,PO=r;P在⊙O内,PO<r。
直线与圆有3种位置关系:无公共点为相离;有两个公共点为相交,这条直线叫做圆的割线;圆与直线有唯一公共点为相切,这条直线叫做圆的切线,这个唯一的公共点叫做切点。以直线AB与圆O为例(设OP⊥AB于P,则PO是AB到圆心的距离):AB与⊙O相离,PO>r;AB与⊙O相切,PO=r;AB与⊙O相交,PO<r。
两圆之间有5种位置关系:无公共点的,一圆在另一圆之外叫外离,在之内叫内含;有唯一公共点的,一圆在另一圆之外叫外切,在之内叫内切;有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。两圆的半径分别为R和r,且R≥r,圆心距为P:外离P>R+r;外切P=R+r;相交R-r<P<R+r;内切P=R-r;内含P<R-r。

四月 5

等差数列

等差数列是数列的一种。在等差数列中,任何相邻两项的差相等。该差值称为公差。例如数列3, 5, 7, 9, 11, 13, \cdots 就是一个等差数列。 在这个数列中,从第二项起,每项与其前一项之差都等于2,即公差为2。

通项公式

如果一个等差数列的首项标为\ a_1,公差标为\ d,那么该等差数列第\ n项的表达式为:

\ a_n=a_1+(n-1)d .

等差数列的任意两项之间存在关系:

\ a_n=a_m+(n-m)d

等差中项

给定任一公差为\ d的等差数列a_i=a_1+(i-1)d\qquad, i>1。从第二项\ a_2开始,前一项加后一项的和的値为该项的两倍。 例:\ a_1+ a_3=2a_2

证明:

a_{n-1}+a_{n+1} \neq 2a_n

a_1+(n-2)d+a_1+(n)d\neq2[a_1+(n-1)d]
2a_1+2nd-2d\neq2a_1+2nd-2d(矛盾)
\ a_{n-1}+a_{n+1}=2a_n

证毕

等差数列的和

等差数列的和称为等差级数。

公式

一个公差为d的等差数列a_1,a_2,\dots,a_nn项的级数为:

S_n = a_1+a_2+\dots+a_n=\sum_{i=0}^{n-1} (a_1+id)=\frac{n( a_1 + a_n)}{2} =\frac{n[ 2a_1 + (n-1)d ]}{2}.

等差级数在中文教科书中常表达为:

一个等差数列的和等于其首项与末项的和乘以项数除以2。

通常认为数学家高斯在很小的时候就发现这个公式。在他三年级的时候,他的老师让学生们做从1加到100的习题。高斯很快发现数列的规律,用上面的公式得出了5050的答案。

证明

将一个等差级数写作以下两种形式:

 S_n=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+\dots\dots+(a_1+(n-2)d)+(a_1+(n-1)d)
 S_n=(a_n-(n-1)d)+(a_n-(n-2)d)+\dots\dots+(a_n-2d)+(a_n-d)+a_n

将两公式相加来消掉公差d:

\ 2S_n=n(a_1+a_n)

整理公式,并且注意 \ a_n = a_1 + (n-1)d,我们有:

 S_n=\frac{n( a_1 + a_n)}{2}=\frac{n[ 2a_1 + (n-1)d]}{2}.

证毕

等差数列的积

等差数列的积较其和的公式复杂。给定一首项为\ a_1,公差为\ d 且其首项为正整数 \ (a_1\in\mathbb{Z}^+) 的等差数列,其前\ n项的积写作:

a_1a_2\cdots a_n = d^n {\left(\frac{a_1}{d}\right)}^{\overline{n}}

其中 x^{\overline{n}}\ x\ n次上升阶乘幂。 注意,该公式对于首项不是正数的等差数列并不适用。等差数列的积的公式是基于阶乘定义的一个推广。

三月 12

等比数列

等比数列

等比数列:是一种特殊数列。它的特点是:从第2项起,每一项与前一项的比都是一个常数。

例如数列2,4,8,16,32,\cdots,2^{197},2^{198},2^{199},\cdots

这就是一个等比数列,因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等,都等于2,21982197的比也等于2。我们把像2这样的后一项与前一项的比称之为公比,符号为q

公式

 

公比公式

根据等比数列的定义可得:

q=\frac {a_n}{a_{n-1}} \left(n\ge2\right)

 

通项公式

我们可以任意定义一个等比数列\left\{a_n\right\}

这个等比数列从第一项起分别是a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n,\cdots,公比为q,则有:

a2 = a1q
a3 = a2q = a1q2
a4 = a3q = a1q3
\cdots
以此类推可得,等比数列\left\{a_n\right\}的通项公式为:
an = an − 1q = a1qn − 1

 

求和公式

对于上面我们所定义的等比数列,即数列a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n,\cdots。我们将所有项进行累加。

于是把a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n+\cdots称为等比数列的和。记为:

\sum_{i=1}^{n} a_i

如果该等比数列的公比为q,则有:

S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n

=a_1+a_1q+a_1q^2+\cdots+a_1q^{n-1}(利用等比数列通项公式)*
先将两边同乘以公比q,有:

qS_n=a_1q+a_1q^2+\cdots+a_1q^n
该式减去*式,有:

(q − 1)Sn = a1qn − a1
然后进行一定的讨论

q\ne1时,S_n=\frac {a_1(1-q^n)}{1-q}
而当q = 1时,由★式无法解得通项公式。
但我们可以发现,此时:

S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n

=a_1+a_1q+a_1q^2+\cdots+a_1q^{n-1}
=a_1+a_1+a_1+\cdots+a_1
na1
  • 综上所述,等比数列\left\{a_n\right\}的求和公式为:
S_n=\begin{cases} \frac {a_1-a_1q^n}{1-q}, & (q\ne1) \\ na_1, & (q=1) \end{cases}
  • 经过推导,可以得到另一个求和公式:当q≠1时

{{S}_{n}}=\frac{{{a}_{1}}(1 - {{q}^{n}})}{1 - q}=\frac{{{a}_{1}} - {{a}_{1}}{{q}^{n}}}{1 - q}

 

q<1,\ge0时,等比数列无限项之和

由于当q<1,\ge0n的值不断增加时,qn的值便会不断减少而且趋于0,因此无限项之和:

S_{\infty}=\frac {a_1-a_1q^{\infty}}{1-q}=\frac {a_1-0}{1-q}=\frac {a_1}{1-q}

 

性质

如果数列\left\{a_n\right\}是等比数列,那么有以下几个性质:

  • a_n=a_mq^{n-m} (m,n\in \mathbb{N^*},n>m)
证明:当m,n\in \mathbb{N^*},n>m时,a_mq^{n-m}=a_1q^{m-1}\times q^{n-m}=a_1q^{n-1}=a_n
  • 对于m,n,s,t\in \mathbb{N^*},若\!m+n=s+t,则a_m\cdot a_n=a_s\cdot a_t
证明a_m\cdot a_n=a_1q^{m-1}\cdot a_1q^{n-1}=a_1\cdot a_1\cdot q^{n+m-2}

\!m+n=s+t
a_m\cdot a_n=a_1\cdot a_1\cdot q^{s+t-2}=a_1q^{s-1}\cdot a_1q^{t-1}=a_s\cdot a_t
  • 等比中项:在等比数列中,从第二项起,每一项都是与它等距离的前后两项的等比中项。即等比数列\left\{a_n\right\}中有三项\!a_i\!a_j\!a_k,其中j-i=k-j\ge1,则有a_j^2=a_ia_k
  • 在原等比数列中,每隔k(k\in \mathbb{N^*})取出一项,按原来顺序排列,所得的新数列仍为等比数列。
  • a_1\cdot a_2,a_3\cdot a_4,a_5\cdot a_6 \cdots也成等比数列。
二月 19

三角函数

[请点击标题]

1.几何定义

 

a, b, h分別為角A的對邊、鄰邊和斜邊

在直角三角形中,仅有銳角(大小在0到90度之間的角)三角函數的定義。給定一個銳角 \theta,可以做出一個直角三角形,使得其中的一個內角是 \theta。設這個三角形中,\theta 的對邊、鄰邊和斜邊長度分別是 a, b, h,那麼

\theta 的正弦是對邊與斜邊的比值:\sin{\theta}=\frac{a}{h}

\theta 的餘弦是鄰邊與斜邊的比值:\cos{\theta}=\frac{b}{h}

\theta 的正切是對邊與鄰邊的比值:\tan{\theta}=\frac{a}{b}

\theta 的餘切是鄰邊與對邊的比值:\cot{\theta}=\frac{b}{a}

\theta 的正割是斜邊與鄰邊的比值:\sec{\theta}=\frac{h}{b}

\theta 的餘割是斜邊與對邊的比值:\csc{\theta}=\frac{h}{a}

  • 直角坐標系中的定義

Trig functions on descartes.png

P( xy )是平面直角坐標系xOy中的一個點,θ是橫軸正向\vec{Ox}逆時針旋轉到\vec{OP}方向所形成的角,r = \sqrt {x^2 + y^2 }>0P到原點O的距離,則θ的六個三角函數定義為:

正弦: \sin \theta = \frac{y}{r}, 正切: \tan \theta = \frac{y}{x}, 正割: \sec \theta = \frac{r}{x},
餘弦: \cos \theta = \frac{x}{r}, 餘切: \cot \theta = \frac{x}{y}, 餘割: \csc \theta = \frac{r}{y}.

這樣可以對0到360度的角度定義三角函數。要注意的是以上的定義都只在定義式有意義的時候成立。比如說當x=0 的時候,\frac{y}{x}\frac{r}{x}都沒有意義,這說明對於90度角和270度角,正切和正割沒有定義。同樣地,對於0度角和180度角,餘切和餘割沒有定義。

  • 單位圓定義

三角函數也可以依據直角坐標系xOy中半徑為1,圓心為原點O的單位圓來定義。給定一個角度θ,設A(1, 0)為起始點,如果θ > 0則將OA逆時針轉動,如果θ < 0則順時針移動,直到轉過的角度等於θ為止。設最終點A轉到的位置為P (x, y),那麼:

  • 正弦:sin θ = y
  • 餘弦:cos θ = x
  • 正切:tan θ = y/x
  • 餘切:cot θ = x/y
  • 正割:sec θ = 1/x
  • 餘割:csc θ = 1/y

這個定義和坐標系的定義類似,但角度θ可以是任何的數值。對於大於360°或小於-360°的角度,可以認為是逆時針(順時針)旋轉了不止一圈。而多轉或少轉了整數圈不會影響三角函數的取值。如果按弧度制的方式記錄角度,將弧長作為三角函數的輸入值(360°等於2π),那麼三角函數就是取值為全體實數\mathbb{R},周期為2π的周期函數。比如:

\sin\theta = \sin\left(\theta + 2\pi k \right), \quad \forall \theta \in \mathbb{R}, \; \; k \in \mathbb{Z}
\cos\theta = \cos\left(\theta + 2\pi k \right), \quad \forall \theta \in \mathbb{R}, \; \; k \in \mathbb{Z}

周期函數的最小正周期叫做這個函數的基本周期。正弦、餘弦、正割或餘割的基本周期是2π弧度或360°;正切或餘切的基本周期是π弧度或180°。

2.三角函数的诱导公式

  • 所谓三角函数诱导公式,就是将角n×(π/2)±α的三角函数转化为角α的三角函数。

公式一

设α为任意锐角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:对于x轴正半轴为起点轴而言,

角度制下的角的表示:
sin (α+k·360°)=sinα(k∈Z)
cos(α+k·360°)=cosα(k∈Z)
tan (α+k·360°)=tanα(k∈Z)
cot(α+k·360°)=cotα (k∈Z)
sec(α+k·360°)=secα (k∈Z)
csc(α+k·360°)=cscα (k∈Z)

公式二

设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:对于x轴负半轴为起点轴而言
弧度制下的角的表示:
sin(π+α)=-sinα
cos(π+α)=-cosα
tan(π+α)=tanα
cot(π+α)=cotα
sec(π+α)=-secα
csc(π+α)=-cscα
角度制下的角的表示:
sin(180°+α)=-sinα
cos(180°+α)=-cosα
tan(180°+α)=tanα
cot(180°+α)=cotα
sec(180°+α)=-secα
csc(180°+α)=-cscα

公式三

任意角α与 -α的三角函数值之间的关系:
sin(-α)=-sinα
cos(-α)=cosα
tan(-α)=-tanα
cot(-α)=-cotα
sec(-α)=secα
csc (-α)=-cscα

公式四

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:
角度制下的角的表示:
sin(180°-α)=sinα
cos(180°-α)=-cosα
tan(180°-α)=-tanα
cot(180°-α)=-cotα
sec(180°-α)=-secα
csc(180°-α)=cscα

公式五

利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:
弧度制下的角的表示:
sin(2π-α)=-sinα
cos(2π-α)=cosα
tan(2π-α)=-tanα
cot(2π-α)=-cotα
sec(2π-α)=secα
csc(2π-α)=-cscα
角度制下的角的表示:
sin(360°-α)=-sinα
cos(360°-α)=cosα
tan(360°-α)=-tanα
cot(360°-α)=-cotα
sec(360°-α)=secα
csc(360°-α)=-cscα

公式六

π/2±α 及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系:(⒈~⒋)
⒈ π/2+α与α的三角函数值之间的关系
弧度制下的角的表示:
sin(π/2+α)=cosα
cos(π/2+α)=—sinα
tan(π/2+α)=-cotα
cot(π/2+α)=-tanα
sec(π/2+α)=-cscα
csc(π/2+α)=secα
角度制下的角的表示:
sin(90°+α)=cosα
cos(90°+α)=-sinα
tan(90°+α)=-cotα
cot(90°+α)=-tanα
sec(90°+α)=-cscα
csc(90°+α)=secα
⒉ π/2-α与α的三角函数值之间的关系
弧度制下的角的表示:
sin(π/2-α)=cosα
cos(π/2-α)=sinα
tan(π/2-α)=cotα
cot(π/2-α)=tanα
sec(π/2-α)=cscα
csc(π/2-α)=secα
角度制下的角的表示:
sin (90°-α)=cosα
cos (90°-α)=sinα
tan (90°-α)=cotα
cot (90°-α)=tanα
sec (90°-α)=cscα
csc (90°-α)=secα
⒊ 3π/2+α与α的三角函数值之间的关系
弧度制下的角的表示:
sin(3π/2+α)=-cosα
cos(3π/2+α)=sinα
tan(3π/2+α)=-cotα
cot(3π/2+α)=-tanα
sec(3π/2+α)=cscα
csc(3π/2+α)=-secα
角度制下的角的表示:
sin(270°+α)=-cosα
cos(270°+α)=sinα
tan(270°+α)=-cotα
cot(270°+α)=-tanα
sec(270°+α)=cscα
csc(270°+α)=-secα
⒋ 3π/2-α与α的三角函数值之间的关系:
弧度制下的角的表示:
sin(3π/2-α)=-cosα
cos(3π/2-α)=-sinα
tan(3π/2-α)=cotα
cot(3π/2-α)=tanα
sec(3π/2-α)=-cscα
csc(3π/2-α)=-secα
角度制下的角的表示:
sin(270°-α)=-cosα
cos(270°-α)=-sinα
tan(270°-α)=cotα
cot(270°-α)=tanα
sec(270°-α)=-cscα
csc(270°-α)=-secα
总结:
  • 诱导公式记忆口诀:“奇变偶不变,符号看象限”。
i.     “奇、偶”指的是π/2的倍数的奇偶,“变与不变”指的是三角函数的名称的变化:“变”是指正弦变余弦,正切变余切。(反之亦然成立)“符号看象限”的含义是:把角α看做锐角,不考虑α角所在象限,看n·(π/2)±α是第几象限角,从而得到等式右边是正号还是负号。
ii.     符号判断口诀:“一全正;二正弦;三正切;四余弦”。这十二字口诀的意思就是说:第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”;第二象限内只有正弦是“+”,其余全部是“-”;第三象限内只有正切余切是“+”,其余全部是“-”;第四象限内只有余弦是“+”,其余全部是“-”,如图下所示:
3.特别角的三角函数值

4.三角函数的图像

5.同角三角函数的基本关系式
i)倒数关系
 
ii)余角关系+商的关系
 
 ii)商的关系
 
iii)平方关系
6.两角和与差的三角函数
推导(两角和差的余弦公式):

(方法 1) 如图所示, 在直角坐标系 中作单位圆 , 并作角 和 , 使角 的始边为 , 交 于点 A, 终边交 于点 B;角 始边为 , 终边交 于点 C;角 始边为 , 终边交 于点。从而点 AB, C和 D的坐标分别为,,

由两点间距离公式得

注意到 , 因此

(方法2)仍然在单位圆的框架下 , 用平面内两点间距离公式和余弦定理表达同一线段, 也可以得到我们希望的三角等式。这就是

(方法2) 如图所示, 在坐标系 中作单位圆 , 并作角 和 , 使角 和 的始边均为 , 交 于点 C, 角 终边交 于点 A,角 终边交 于点。从而点 AB的坐标为,

由两点间距离公式得

由余弦定理得

从而有

推导(两角和差的正弦公式):

(亦可用以上的方法一和方法二证得)

(方法三)

(方法3) 如图所示, 为 的 边上的高 , 为 边上的高。设 , 则。从而有

,

,

因此 ,

注意到 ,

从而有         ,

整理可得          

更多的推导见http://www.doc88.com/p-905969762597.html

7.倍角及半角的三角函数

8.三角函数的积化合差:
  • 积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的手段来证明。即只需要把等式右边用两角和差公式拆开就能证明:
sinαsinβ=-1/2[-2sinαsinβ]
=-1/2[(cosαcosβ-sinαsinβ)-(cosαcosβ+sinαsinβ)]
=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]
9.三角函数的和差化积:
 
二月 8

概率论

机率论是研究随机性或不确定性等现象的数学。更精确地说,机率论是用来模拟实验在同一环境下会产生不同结果的情状。典型的随机实验有掷骰子、扔硬币、抽扑克牌以及轮盘游戏等。
数学家和精算师认为机率是在0至1之间之闭区间的数字,指定给一发生与失败是随机的“事件”。机率P(A)根据机率公理来指定给事件A。

生活例子

人们对概率总是有一点触摸不清的感觉,而事实上也有很多看似奇异的结果,甚至错误的认识:
六合彩:在六合彩(49选6)中,一共有13983816种可能性(参阅组合数学),如果每周都买一个不相同的号,最后可以在13983816/52(周)=268919年后获得头等奖。事实上,即使每周买相同的号,获得头奖的概率也是相同的。
六合彩:仍然是六合彩。买 5, 17, 19, 24, 33, 49 中奖概率高还是买 11,12,13,14,15,16 的中奖概率高? 概率论说:一样。
生日:在一个足球场上有23个人(2×11个运动员和1个裁判员),不可思议的是,在这23人当中至少有两个人的生日是在同一天的机率要大于50%。
轮盘游戏:在游戏中玩家普遍认为,在连续出现多次红色后,出现黑色的机率会越来越大。这种判断也是错误的,即出现黑色的机率每次是相等的,因为球本身并没有“记忆”,它不会意识到以前都发生了什么,其机率始终是 18/37。
赢取电视节目里的名车:在参赛者面前有三扇关闭的门,其中只有一扇后面有名车,而其余的后面是山羊。游戏规则是,参赛者先选取一扇门,但在他打开之前,主持人在其余两扇门中打开了一扇有山羊的门,并询问参赛者是否改变主意选择另一扇门,以使赢得名车的概率变大。正确的分析结果是,假如不管开始哪一扇门被选,主持人都打开其余两扇门中有山羊的那一扇并询问参赛者是否改变主意,则改变主意会使赢得汽车的机率增加一倍;假如主持人只在有名车那扇门被选中时劝诱参赛者打开其它门,则改变主意必输。(“标准”的三门问题中是第一种情况。)

历史

作为数学统计基础的概率论的创始人分别是法国数学家帕斯卡和费马,其可追溯到公元17世纪。当时的法国宫廷贵族里盛行着掷骰子游戏,游戏规则是玩家连续掷 4 次骰子,如果其中没有 6 点出现,玩家赢,如果出现一次 6 点,则庄家(相当于现在的赌场)赢。按照这一游戏规则,从长期来看,庄家扮演赢家的角色,而玩家大部分时间是输家,因为庄家总是要靠此为生的,因此当时人们也就接受了这种现象。
后来为了使游戏更刺激,游戏规则发生了些许变化,玩家这回用 2 个骰子连续掷 24 次,不同时出现2个6点,玩家赢,否则庄家赢。当时人们普遍认为,2 次出现 6 点的概率是一次出现 6 点的概率的 1 / 6 ,因此 6 倍于前一种规则的次数,也既是 24 次赢或输的概率与以前是相等的。然而事实却刚好相反,从长期来看,这回庄家处于输家的状态,于是他们去请教当时的数学家帕斯卡,求助其对这种现象作出解释。
其他对概率论的发展作出重要贡献的人还有荷兰物理、数学家惠更斯,瑞士物理、数学家伯努利,法国数学家美弗,法国数学、天文学家拉普拉斯,德国数学家高斯,法国物理、数学家泊松,意大利数学、医学家卡尔达诺以及苏联数学家柯尔莫哥洛夫。

一月 17

数独Sudoku

数独是什么?什么?你不懂?让我告訴你吧!数独顾名思义——每个数字只能出现一次。数独是一种源自18世纪末的瑞士,后在美国发展、并在日本得以发扬光大的数字谜题。数独盘面是个九宫,每一宫又分为九个小格。在这八十一格中给出一定的已知数字和解题条件,利用逻辑和推理,在其他的空格上填入1-9的数字。使1-9每个数字在每一行、每一列和每一宫中都只出现一次。 这种游戏全面考验做题者观察能力和推理能力,虽然玩法简单,但数字排列方式却千变万化,所以不少教育者认为数独是训练头脑的绝佳方式。数独中的数字排列千变万化,那么究竟有多少种终盘的数字组合呢?

6,670,903,752,021,072,936,960(约有6.67×10的21次方)种组合,2005年由Bertram Felgenhauer和Frazer Jarvis计算出该数字,如果将重复(如数字交换、对称等)不计算,那么有5,472,730,538个组合。数独终盘的组合数量都如此惊人,那么数独题目数量就更加不计其数了,因为每个数独终盘都可以用挖数的方法出很多个不同的数独题目。